一端铰接杆搭在物体上

基本结论

对于一端铰接杆搭在某一物体上问题，一般来说，有以下结论

• 临界时摩擦力方向垂直于杆，此结论在杆一端固定或铰接时恒成立。（摩擦力沿杆方向分量没有正效应，与临界条件不符合）
• 支持力方向垂直于接触处所搭物体切线和杆自身。（可以用于确定支持力方向）
• 全反力一定在重力方向和杆方向确定的平面内。（否则无法力矩平衡）
• 全反力、摩擦力、支持力在同一平面内。（全反力定义）

请注意，这里一般没有摩擦力方向和相对运动趋势相反这一结论直接应用。

解题思路

基本思路：

• 建系。
• 将杆 \( \hat{L} \)、所搭物体切线方向 \( \hat{l} \)、重力方向 \( \hat{g} \) 用分量式表达出来。
• 计算支持力方向

\[\hat{N} = \hat{L} \times \hat{l} \]

• 计算全反力所在平面的法向量

\[ \hat{n} = \hat{g} \times \hat{L} \]

• 记全反力和支持力之间夹角为 \( \theta \)，则有：

\[ \hat{n} \cdot \hat{N} = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) \]

• 而对于支持力和全反力的夹角，有：

\[ \tan \theta = \frac{f}{N} = \mu \]

• 由上两式反解得到临界时的 \( \mu \)。一般是某一角度参数的函数。