三角函数
三角函数的几何定义
直角三角形中,对于非直角边 \( \alpha \)
三角函数的单位圆定义
我们取单位圆上一点 \(P(u,v)\),令 \(OP\) 与 \(x\) 轴夹角为 \(\alpha\),则
\[ \begin{aligned}
\cos\alpha &= u,\\
\sin\alpha &= v,\\
\tan\alpha &= \frac{v}{u}\\
\csc \alpha= 1/\sin \alpha \\
\sec \alpha = 1/\cos \alpha\\
\cot \alpha = 1/\tan \alpha
\end{aligned}
\]
三角公式
勾股定理
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
等式两边同除 \(\cos^2 \alpha\) 和 \(\sin^2 \alpha\) 得
\[ \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha\\
1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha \]
两角和公式
\[ \sin(\alpha\pm \beta) = \sin \alpha\cos \beta \pm \cos \alpha\sin \beta\\
\cos(\alpha\pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta \mp \sin \alpha\sin \beta\\
\tan(\alpha\pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \]
半角公式和倍角公式
倍角公式
令上式 中 \(\beta=\alpha\) 得
\[ \begin{gather*}
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha\cos \alpha\\
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\\
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}
\end{gather*} \]
又由于 \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\),可以得到
\[ \begin{gather*}
\sin^2 \alpha = \frac12 (1- \cos 2\alpha) \\
\cos^2 \alpha = \frac12 (1+\cos 2\alpha)
\end{gather*} \]
半角公式
由上节公式可得半角公式
\[ \begin{gather*}
\sin\frac{ \alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}\\
\cos\frac{ \alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}\\
\tan\frac{ \alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}
\end{gather*} \]
注意正负号的选择需要根据 \(\alpha\) 所在的区间判断, 如果需要恒等式则两边取平方.
和差化积公式与积化和差公式
和差化积公式
\[ \begin{gather*}
\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})\\
\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin(\frac{\alpha - \beta}{2})\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\\
\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\\
\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})
\end{gather*} \]
积化和差公式
根据上文的和差化积公式, 我们也可以直接写出积化和差公式
\[ \begin{gather*}
\sin \alpha\sin \beta = \frac12 [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\\
\cos \alpha\cos \beta = \frac12 [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]\\
\sin \alpha\cos \beta = \frac12 [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]
\end{gather*}
\]
辅助角公式
\[
a\sin \alpha + b\cos \alpha = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha + \phi) \qquad (\phi = \tan^{-1}\frac{b}{a})
\]
余弦定理
\footnote{参考 Wikipedia \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines}{相关页面}.}\textbf{余弦定理(law of cosines)}是指:三角形(\autoref{CosThe_fig1} )任何一条边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
\begin{equation}\label{CosThe_eq1}
c^2=a^2 + b^2 - 2ab\cos C
\end{equation}
三角函数的应用
我们假设大家已经掌握高中的三角函数知识。
欧拉公式:
\[ e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta \]
复平面:
\[ z=x+iy \]
每个复数类似于一个旋转矢量,利用欧拉公式我们很容易得到:
\[ z=r e^{i \theta} \]
\[ r=\sqrt{x^2+y^2};tan\theta=\frac{y}{x}\]
下面的过程我们可能还涉及积分微分与求和的交换,在物理问题上一般是可行的。
\[\sum_{k=0}^na^kcoskx=Re\sum_{k=0}^na^ke^{ikx}=Re\sum_{k=0}^n(ae^{ix})^k\]
\[=Re\frac{(1-(ae^{ix})^{n+1})(1-ae^{-ix})}{a^2+1-2acosx}\]
\[=Re\frac{1-ae^{-ix}+a^{n+2}e^{inx}-(ae^{ix})^{n+1}}{a^2+1-2acosx}\]
\[=\frac{1-acosx+a^{n+2}cosnx-a^{n+1}cos(n+1)x}{a^2+1-2acosx}\]
下面这个例子a是正整数。
\[\sum_{k=0}^nk^acoskx=Re\sum_{k=0}^nk^ae^{ikx}=Re\sum_{k=0}^n\frac{d^a}{dx^a}\frac{e^{ikx}}{i^a}\]
\[=Re\frac{d^a}{dx^a}\frac{1}{i^a}\sum_{k=0}^ne^{ikx}=\frac{d^a}{dx^a}Re\frac{1}{i^a}\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}\]
接下来最好讨论a的奇偶,但是我们的大致思路已经明了,就不去进行繁琐的计算。
积分代换
万能代换:只包含三角函数的积分通通可以变成有理式的积分
\[t=tan\frac{x}{2}\]
\[sinx=\frac{2t}{1+t^2};cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2};dx=\frac{2dt}{1+t^2}\]
但是万能代换有时候很繁琐,三角换元反而更能解决问题。积分都是多计算就会熟练。有关于有理式的各种形式的积分,我们会在后续引用论文进行详述。
三角换元:
\(\sqrt{1-x^2}\)形式,一般代换\(x=\sin t\)。\(\sqrt{1+x^2}\)形式,可代换\(x=\tan t\)或者\(x=\sinh t\)。变成三角形式的时候我们要熟悉三角函数的公式,方便我们去继续变换。
傅里叶级数
对于周期函数我们可以对它进行傅里叶级数展开,一般只要是周期内黎曼可积的函数我们都能展开,物理上我们这类接触得最多。假如不是周期函数呢,那么我们离散的谱就会变成连续谱,得到函数的傅里叶变换。假设\(f(x)\)的周期是\(2\pi\),从\(-\pi\)到\(\pi\)。
\[f(x)\doteq\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_kcoskx+\sum_{k=1}^\infty b_ksinkx\]
我们可以把\(f(x)\)写成这种形式,但是对于\(f\)的断点,后面的级数会取到\(f\)两端的平均值。对于\(a_k\)与\(b_k\)我们有:
\[ a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)coskxdx \]
\[ b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinkxdx \]
难题集萃波兰中学生二维无限网络电阻那题用到了二维的傅里叶级数思想是差不多的。