矢量分析

基本概念

首先介绍一个概念，一般《线性代数》书中也会用到。利用它可以简化我们的符号书写。

奇排列和偶排列：首先将 \(n\) 个不同数按从小到大顺序排成一列，对此排列，交换其中两个数的操作，进行奇数次得到奇排列，进行偶数次得到偶排列。例如三个数 \( 123,312,231 \) 均为偶排列（可以记成取最后一个数放在排头）。

另外一个简化书写的方法。

爱因斯坦求和规范：重复下标自动求和（少写一个求和符号）

\[x_i y_i \leftrightarrow \sum_{i = 1}^3 x_i y_i\]

此外需要知道两个常见符号，在做矢量叉乘点乘时可以用到。

克罗内克符号：

\[ \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \nonumber \end{cases} \]

交错符号：

\[ \epsilon _{ijk} = \begin{cases} 1 & 下标偶排列 \\ -1 & 下标奇排列\\ 0 & 下标出现重复 \nonumber \end{cases} \]

张量

一般我们会说标量或者矢量，但是这些都可以直接统一在更高的范畴——张量中。

首先从矢量出发，我们知道矢量是由大小和方向描述的，相加时满足三角形法则。为了更加方便地做运算，我们一般会把矢量写成正交坐标系下投影的形式，如 \( \vec{A} = A_x \vec{e_x} + A_y \vec{e_y} + A_z \vec{e_z} \) 其中 \( \vec{e_x} \) 是 \( X \) 方向的单位矢量，其他类似。更进一步，将下标 \(x,y,z \) 用 \( 1,2,3 \) 替代，实际上是等价的，不过可以写成更加漂亮的 \( i = 1,2,3\) 的求和形式，再利用爱因斯坦求和规范，得到：

矢量（一阶张量）：

\[ \vec{A} = A_i \vec{e_i}\\ \]

一般将标量称作零阶张量

矩阵（二阶张量）

\[ \overset{\twoheadrightarrow}{T} = T_{ij} \vec{e_i} \vec{e_j}\]

可以这样理解张量：张量的阶数按照表达式中单位矢量的个数决定，有几个单位矢量写在一起（不是点乘或者叉乘在一起，单纯是写在一起），就是几阶张量。

特别的，在很多书中，我们会把一般向量和位置向量分别记作

\[ \vec{A} = A_i \vec{e_i} \\ \vec{r} = x_i \vec{e_i} \]

点乘和叉乘都有许多表述形式，例如，用长度和夹角 \( \theta \) 可以表示为

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos \theta \]

\[|\vec{a} \times \vec{b}| = ab \sin \theta \]

又比如用分量的形式进行表述：

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \\ \vec{a} \times \vec{b} = \left |\begin{array}{cccc} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{array}\right| \]

但这些形式不够“优美”。使用我们上面提到的记号之后，含有方向的（\( \vec{e_i} \) 等）与不含方向的（\( A_i \) 等）可以分开处理。后者可以直接保持顺序按照一般运算规律（乘法、微分）等进行，前者利用叉乘点乘公式进行。得到（同学们可以自行验算）

点乘与叉乘

\[\vec{e_i} \cdot \vec{e_j} = \delta _{ij} \\ \vec{e_i} \times \vec{e_j} = \epsilon _{ijk} \vec{e_k} \]

在求梯度、散度、旋度时，我们经常会碰到倒三角形算符。这里我们先给一个比较优美的定义。

矢量微分算符（同时具有矢量性质和微分性质）：

\[ \nabla = \frac{\partial }{\partial x_i} \vec{e_i} = \partial_i \vec{e_i} \]

梯度、散度、旋度、拉普拉斯

本节所介绍的四个算符，在计算时均可直接把上一节的矢量微分算符带进去做形式上的计算。所得结果是正确的。

梯度

矢量微分算符可以将一个标量场 \(\phi\) 对应到一个矢量场——梯度场 \(\nabla \phi\) 。梯度的方向表示标量场变化最快的方向，矢量的大小表示标量场随位置变化的快慢。

物理中，电场可以由电势梯度定义：

\[ \vec{E} = - \nabla \varphi \]

以下两个公式，一般在《高等数学》中会学到。

高斯公式（定义散度）

\[ \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset \vec{A} \cdot \mathrm{d}\vec{\sigma } = \iiint_{V} \nabla \cdot \vec{A} \mathrm{d} V \]

其中，\( \mathrm{d}\vec{\sigma } \) 为带有方向的曲面小面元，大小就是面元的面积大小，方向从里指向外，沿着面元的法线方向（垂直于面元的方向）。

这个公式表示：在矢量场中（例如：静电场）做一个闭合的曲面，曲面上的矢量乘以面元对曲面做积分（称为通量），应当等于散度 \( \nabla \cdot \vec{A} \) 乘以体积元对曲面包围的体积做积分。

形象的说，散度表示一个矢量场向外冒的程度。

这个方程两边都是标量，所以我们可以知道散度也是标量。这是可以理解的。

物理中，麦克斯韦方程中有：

\[ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \]

斯托克斯公式（定义旋度）

\[ \oint_C \vec{A} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \vec{A}) \cdot \mathrm{d} \vec{\sigma} \]

这个公式表示：在矢量场中找一条闭合曲线，曲面上的矢量乘以线元对环路进行积分，应当等于旋度 \( \nabla \times \vec{A} \) 乘以面元对曲线围成的面做积分。

形象的说，旋度是一个表示矢量场旋转程度的矢量，（想象一个顺时针方向的绕环）方向沿着右手螺旋定则确定的、与旋转平面垂直的方向。

物理中，磁场可以由磁矢势旋度定义：

\[ \vec{B} = \nabla \times \vec{A} \]

对于梯度旋度和散度，有：

标量场的梯度为无旋场

\[ \nabla \times \nabla \varphi = 0 \]

矢量场的旋度为无源场

\[ \nabla \cdot \nabla \times \vec{A} = 0\]

拉普拉斯算符

定义为：

\[ \nabla^2 = \partial_i \partial_i \]

是一个二阶微分算符，是一个标量，不具有矢量的性质。

物理中，波动方程可以写成：

\[ (\nabla^2 + \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}) \vec{A}(\vec{r},t) = 0 \]

reference

电磁学与电动力学下册胡友秋科学出版社