泰勒展开
泰勒展开
Important
可以讲泰勒展开视作小量近似的“升级版”。物理竞赛中我们经常会有“将某函数展开到某一阶”的操作。
若函数 \(f\) 在开区间 \(I\) 内可以求任意阶的导数（例如多项式， 幂函数，三角函数，指数函数，对数函数等），那么这个函数可以用多项式近似， 且在某种意义下， 总项数 \(N\) 越多，近似得越精确． 确切地说， 对于任何 \(x_0\in I\), 存在唯一一个数列 \(\{c_n\}\), 使得对于任何正整数 \(N\), 皆有
\[
f(x) = \sum_{n = 0}^N c_n (x - x_0)^n + o({|x-x_0|^{N+1}}).
\]
每一个系数 \(c_n\) 由函数在 \(x_0\) 处的第 \(n\) 阶导数求得
Important
对于初等函数，求各阶导数还是比较容易的。但复合函数、函数的四则运算就比较难弄了。
\[
c_n = \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0);
\]
注意其中 \( 0 \) 的阶乘为 \(0! = 1\)． 另外由得，当 \(x=x_0\) 时，函数值等于多项式值． 当项数 \(N\) 有限时，通常 \( |{x-x_0}|\) 越小多项式就越接近函数 ． 以上这种把函数展开成多项式的方法就叫 泰勒展开，得到的多项式叫做 泰勒级数。
关于原点的泰勒展开又叫麦克劳林展开， 常见的麦克劳林展开：
\[ \begin{align*}
& \sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)\\
& \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)\\
& e^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots \qquad (x \in \mathbb R)\\
& \ln (1+x) = x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1)\\
& \frac{1}{1 \pm x} = 1 \mp x + x^2 \mp x^3 + x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1)\\
& \sqrt{1\pm x} = 1 \pm \frac12 x - \frac18 x^2 \pm \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128}x^4 \ldots \qquad (-1 < x < 1)
\end{align*}
\]
对于更加普遍的函数，我们一般不直接求各阶倒数。而是先确定我们需要几阶小量（通常是首阶非零项，例如在振子的能量中我们需要一个二阶的能量），然后对每一个部分分别用以上公式计算，再对得到的结果整个展开。只要找到我们需要的项即可。