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微分

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微分

极限和微分的定义

在高中物理中我们可以学到，直线运动的平均速度可以用

\[ \overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

描述。这一式子的物理意义是，某一时间段 \( \Delta t\) 内的平均速度可以用这段时间内位置的变化除以时间的变化得到。

瞬时速度是平均速度的极限，即当 \( \Delta t\) 取得非常小时，我们认为这一瞬间的平均速度就是这一瞬间的瞬时速度，二者之间相等。用数学的语言表达，则为：

\[ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

其中 \(\lim\) 表示取极限。\( \lim_{ x \to x_0} \) 的含义是 \( x \) 无限接近于 \( x_0 \) 但是不等于 \( x_0 \)。

基本初等函数的极限

对于连续不间断的函数（物理学中大部分函数都是此类，基本初等函数也属于此类），求极限就是直接带入。

\[ \begin{align*} & \lim_{x\to x_0}c=c\\ & \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8\\ & \lim_{x\to 3}e^x=e^3\\ \end{align*} \]

但对于特殊情况则不能这样处理，例如之后会讲到的两个特殊的极限。

举一个比较神奇的例子，如果一个函数在自变量取值为零为 \( 1 \)，而在其他地方值都为 \( 0 \)，那么函数自变量趋于零时，其极限应当时是 \( 1 \)。显然这不是一个连续函数。

极限的运算法则

这几个公式还是比较好理解的。大家看一眼就行，没必要拘泥于证明。

如果 \( \lim_{x\to x_0}f(x)=A,\lim_{x\to x_0}g(x)=B \)，那么

\[ \begin{align*} &\lim_{x\to x_0}(f(x) \pm g(x)) = \lim_{x\to x_0}f(x) \pm \lim_{x\to x_0}g(x) = A \pm B\\ &\lim_{x\to x_0}(f(x) \cdot g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x) \cdot \lim_{x\to x_0}g(x) = A \cdot B\\ &\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)}= \dfrac{A}{B}(要求分母不为零) \end{align*} \]

两个重要的极限

这个极限可以通过作出正弦函数的图像并在趋近于零的时候考察性质得到。

\[ \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}x=1 \]

这个是定义。

\[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=e \]

无穷大和无穷小

无穷大我们用 \( \infty \) 表示。

举例说明，有：

\[ \begin{align*} &\lim_{x\to\infty} 2x = \infty, \\ \end{align*} \]

无穷小没有特别的记号。

无穷大量 \(y\) 的倒数 \(\dfrac1y\) 为无穷小量，而非零无穷小量 \(y\) 的倒数 \(\dfrac1y\) 为无穷大量．

无穷小量的阶

Important

物理竞赛中经常会用到小量分析，而略去高阶小量也是常见的操作。

  • 称 \(\beta\) 比 \(\alpha\) 高阶，若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=0\)，记为 \({\beta=o(\alpha)}\)．
  • 称 \(\beta\) 比 \(\alpha\) 低阶，若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty\)．
  • 称 \(\beta\) 和 \(\alpha\) 同阶，若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=c\neq0\)．
  • 称 \(\beta\) 和 \(\alpha\) 等价，若 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=1\)，记为 \({\beta\sim\alpha}\)．

比较 \(x\to0\) 时的三个无穷小量 \(x\)，\(2x\)，\(x^2\)，可知前两个式是同阶的无穷小量，而第三个是高阶无穷小。

常见的等价无穷小

Important

本部分内容建议背记。

在做小量近似时，等价无穷小之间可以直接相互替换近似。例如在小角度单摆中我们就使用了 \(\sin x\sim x\) 近似。

  • \(\sin x\sim x\)
  • \(\ln(1+x)\sim x\)
  • \(\tan x\sim x\)
  • \(\mathrm{e}^x-1\sim x\)
  • \(\arcsin x\sim x\)
  • \(1-\cos x\sim \dfrac12x^2\)
  • \(\arctan x\sim x\)
  • \(\sqrt[n]{1+x}-1\sim \dfrac{x}n\)

微分的几何意义

复习：

\[ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\]

习惯上把变化量趋于零时的 \( \Delta \) 写成微分符号 \( \mathrm{d} \)，故上式可以写为：

\[ v = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\]

只是写法上不同，物理意义是一致的。

我们也可以从几何上理解这一定义，曲线上某两点之间连线，可以将线的斜率写成

\[ k = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]

而当两个点在 A 点处无限接近但是不重合时，这一连线也就变成了曲线在 A 处的切线。所得斜率就是切线斜率。

\[ k = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \]

函数的微分

对于一个函数 \(y = f(x)\)，我们可以定义函数的微分为：

\[ \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

当然函数微分记号有各种各样的写法。

\[ y' = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x)' = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \]

为了简化我们通常不会写分式形式，而是直接加 \(y'\) 表示微分。相应的可以用 \(y''\) 表示二阶微分（微分后再微分），高阶微分类推。不过一般很少用到高阶微分。三阶以上写成 \(y^{(n)} \) 更普遍。

函数微分的计算

从原理上说，我们要按照定义式，先算出 \( \Delta f(x)\) 和 \( \Delta x\) 之间关系，再取极限。但是这样太麻烦了。一般我们会直接背公式。有：

\[ \begin{align*} & \frac{\mathrm{d}{a}}{\mathrm{d}x}= 0, a 是常数 \\ & \frac{\mathrm{d}{x^n}}{\mathrm{d}x}= n x^{n-1} \\ & \frac{\mathrm{d}{ \ln x }}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x} \\ & \frac{\mathrm{d}{ e^ x}}{\mathrm{d}x} = e^ x \\ & \frac{\mathrm{d}{ \cos (x)}}{\mathrm{d}x} = - \sin (x) \\ & \frac{\mathrm{d}{ \sin (x)}}{\mathrm{d}x} = \cos (x) \end{align*} \]

关于双曲函数的积分与微分请参考双曲函数版

微分公式

微分具有线性性质：和、差的微分就是微分的和、差

\[ (f(x) \pm g(x))' = f(x)' \pm g(x)' \]
\[ (a f(x))' =a (f(x)') , a 是常数 \]

乘积的微分是对每一个部分分别做微分的加和

\[ [F(x)G(x)]' = f(x)G(x) + F(x)g(x) \]

对于复合函数的微分，需要用链式法则处理：先对最外面微分，在对里面内容进行微分

\[ f(g(x))' = f(y)'|_{y = g(x)} g(x)' \]

对这一公式做简单解释。例如对 \(f(x) = \sin(2x)\)，可以看成是 \( f = \sin(y)\) 和 \(y = 2x\) 两个函数复合而成，所以求导时，要先对最外面的求导，得到 \(f' = \cos (y)\)，由于现在我们还没有对 \(y\) 操作，直接把 \(y = 2x\) 带入得到 \(f' = \cos (2x)\)，然后对 \(y\) 求导，得到 \(y' = 2\)，再相乘得到 \(f(x)' = 2 \cos (2x) \)

对于分数的微分，我们可以将其看成乘积的微分，但更常见的是使用：

\[ (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f(x)' g(x) - f(x)g(x)'}{g(x)^2} \]

这个公式