天体运动的LRL矢量解法

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LRL 矢量

在天体运动问题中，定义 LRL（拉普拉斯-龙格-楞次）矢量为（注意不是磁场，只是符号相似）

\[ \vec{B} = \vec{v}\times\vec{L} - GMm \hat{r}\]

可以证明，这一矢量守恒：

\[ \frac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t} = \vec{a}\times \vec{L} - GMm \dot{\theta} \hat{\theta} \]

而其中又有

\[ \vec{a} = - \frac{GM \vec{r}}{r^3}, \vec{L} = mr^2 \dot{\theta} \hat{z} \]

带入即可得到

\[\frac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t} = 0 \]

一般我们用近地点的参数计算 LRL 矢量。此时 \( \vec{v} \times \vec{L}, \hat{r} \) 在一条直线上，比较好计算。

\[ \vec{B} = (\frac{L^2}{mr}-GMm) \hat{x}\\ =(\frac{L^2(1+e)}{m ep} - GMm) \hat{x}\\ = GMme \hat{x}\]

得到结果之后，再带入：

\[ \vec{r}\cdot\vec{B} = GMe \cos \theta = \vec{r} \times \vec{v} \cdot \vec{L} - GMm - \frac{L^2}{rm}- GMm\]

则有：

\[ r = \frac{\frac{L^2}{GMm^2}}{1+e \cos \theta } \]

只对二次方有心力成立。

由于 LRL 矢量始终指向近地点方向，即近地点的偏移会直接反映在 LRL 矢量上，我们可以通过计算 LRL 矢量旋转的速率，来计算轨道的变化的速率。