变质量物体的动量积分解法

变质量问题的动量积分解法

研究一个竖直上抛的小球质量为 \( m \)，同时接一段足够长均匀柔软非弹性绳线密度为 \( \lambda \)，初态整体置于地面，给小球初速度为 \( v_0 \)。求上抛的最大高度。

由牛顿定律：

\[ -(m + \lambda x) g = \frac{ \mathrm{d}[ (m+ \lambda x) v]}{ \mathrm{d}t } \]

移项得到：

\[ -(m + \lambda x) g \mathrm{d}t = \mathrm{d}[ (m+ \lambda x) v] \]

比较麻烦的是左边同时有 \( x,t \) 两个变量。此时可以考虑带入速度将左边的时间项消去，两边同时乘以 \( (m+ \lambda x) v \)，则有：

\[ -(m + \lambda x)^2 g \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \mathrm{d}[ (m+ \lambda x) v]^2 \]

即可直接积分。