积分
积分的概念
积分是微分的逆运算。例如对于直线运动，知道速度随时间的变化
\[v(t) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \]
移项得到：
\[ \mathrm{d} x = v(t) \mathrm{d} t\]
即左边是一瞬间的位移，右边是瞬时速度乘以时间。对整个过程做积分（即将每一瞬间的位移全部加在一起）得到总位移：
\[x = \int_{0}^{x_0} \mathrm{d}x = \int_{0}^{t_0} v(t) \mathrm{d} t \]
不定积分
我们给一个比较严格的定义。
一个实数函数 \(f(x)\) 的不定积分是另一个函数 \(F(x)\)， 叫做 \(f(x)\) 的原函数。不定积分记为
\[
F(x) = \int f(x) \mathrm{d}{x}
\]
注意积分符号 \(\int\) 和 \(\mathrm{d}{x}\) 是一个整体算符，作用在他们中间的函数上。
不定积分被定义为求导的逆运算。即若能找到 \(F(x)\) 使其导数为 \(f(x)\)， 那么 \(F(x)\) 就是 \(f(x)\) 的一个原函数。
[
F'(x) = f(x)
]
给出一个 \(f(x)\)， 可以找到许多不同的原函数， 且这些原函数都只相差一个常数。也就是说， 给 \(f(x)\) 的任意一个原函数加上一个常数 \(C\)， 就可以得到 \(f(x)\) 的另一个原函数。\(C\) 叫做积分常数（由于常数导数为 \(0\)， 给原函数加上常数后仍然成立）。
不定积分的基本性质
由于求导是线性运算，不定积分也是线性运算。即若干函数的线性组合的积分等于分别对这些函数积分再线性组合。令 \(a_n\) 为常数，有
\[
\int [a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x) ] \mathrm{d}{x} = a_1 \int f_1(x) \mathrm{d}{x} + a_2 \int f_2(x) \mathrm{d}{x}
\]
不定积分计算方法
与求导不同，计算不定积分没有特定的步骤，这里介绍几种方法
- 最简单直接的方法是把已知的各种常见函数的导数写成积分的形式，例如已知 \(\sin x\) 的导数是 \(\cos x\)， \(\cos x\) 的积分就是 \(\sin x\) 加任意常数。
- 换元积分法和分部积分法
- 查表法。一般物理竞赛中比较复杂的积分可能会以附注或条件的形式给在卷首或者题干部分。
- 计算软件和网站。常见的符号计算软件有 Mathematica 等，数学网站有 Wolfram Alpha 等（建议先把积分技巧练熟再使用这些方法）。
常用积分表
\[ \begin{align*}
&\int 1 \mathrm{ d } {x} = x+C\\
&\int x^a \mathrm{ d } {x} = \frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\\
&\int \frac1x \mathrm{ d } {x} = \ln|x|+C\\
&\int e^x \mathrm{ d } {x} = e^x + C\\
&\int a^x \mathrm{ d } {x} = \frac{a^x}{\ln a} + C\\
&\int \sin x \mathrm{ d } {x}= - \cos x + C\\
&\int \cos x \mathrm{ d } {x}= \sin x + C\\
&\int \sec^2 x \mathrm{ d } {x}= \tan x + C\\
&\int \csc^2 x \mathrm{ d } {x}= -\cot x + C\\
&\int \frac{ \mathrm{ d } {x}}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C\\
&\int \frac{ \mathrm{ d } {x}}{1+x^2} = \arctan x + C
\end{align*}
\]
分步积分法
若积分中的被积函数可以表示为两个函数的乘积， 则我们可以使用分部积分公式.
根据乘法的求导公式
\[
[f(x)(\int g(x) \mathrm{ d } x )]' = f(x)'(\int g(x) \mathrm{ d } x ) + f(x)g(x)
\]
即
\[
f(x)g(x) = [f(x)(\int g(x) \mathrm{ d } x )]' - f(x)'(\int g(x) \mathrm{ d } x )
\]
两边不定积分（积分常数可任取）得
\[
\int f(x)g(x) \mathrm{d}{x} = f(x)(\int g(x) \mathrm{ d } x ) - \int f(x)'(\int g(x) \mathrm{ d } x ) \mathrm{d}{x}
\]
所以如果被积函数等于两个函数的乘积，则可选择其中一个先单独进行积分。而对另外一个做求导。
这个公式的意义在于，能够将不太好直接计算的乘积的积分进行简化。作为例子，你可以考虑这样一个积分：
\[ \int x^2 e^x \mathrm{ d } x \]
换元积分法
第一类换元积分法
第一类换元积分法实际上是复合函数求导的逆运算。
\[ \begin{align*}
\int f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm{ d } {x} &= \int f(\phi(x)) \mathrm{ d } {(\phi(x))} \\
&= \left[\int f(u)\mathrm{ d } {u}\right]_{u=\phi(x)}.
\end{align*} \]
对等式两边同时求导，即可得到复合函数求导公式。
这个公式很有用，例如：
\[ \int f(ax+b) \mathrm{ d }x = \frac{1}{a} \int f(ax+b) \mathrm{ d }(ax+b) = \frac{1}{a} F(ax+b)+C. \]
熟练之后没有必要写出 \( \phi \)
这个公式在处理三角函数时很有用。作为例子，你可以考虑这样一个积分：
\[ \int \sin^2x\cos x \mathrm{ d } {x} \]
第二类换元积分法
\[ \begin{align*}
\int f(x)\mathrm{ d } x &= \int f(\phi(t))\mathrm{ d }{}(\phi(t)) \\
&= \left[\int f(\phi(t))\phi'(t)\mathrm{ d } t\right]_{t=\phi^{-1}(x)}
\end{align*} \]
虽然这个公式看起来还增加了复杂性，但实际上在处理和根号相关的内容时还挺有用的。作为例子，你可以考虑这样一个积分：
\[ \int \frac{1}{1+\sqrt[]{x}} \mathrm{ d } x \]
定积分
定义
\[
\int_a^b f(x) \mathrm{ d } x = \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i
\]
其中：
\(x\) 称为积分变量，\(f(x)\) 称为被积函数，\(f(x) \mathrm{ d }x\) 称为被积表达式，\(a\) 称为积分下限，\(b\) 称为积分上限，\([a,b]\) 称为积分区间。
定积分的含义，从几何上看，就是函数曲线和 \( x=0,y=a,y=b \) 三条线围成的封闭图形的面积。
牛顿—莱布尼兹公式
牛顿—莱布尼兹公式描述了定积分和不定积分的关系。
若 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，则
\[
\int_a^b f(x) \mathrm{d}{x} = F(b) - F(a)
\]